GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ SỞ
\[f(x) \le f({x_0})\forall x \in K \Leftrightarrow {\max _K}f(x) = f({x_0})\] \[f(x) \ge f({x_0})\forall x \in K \Leftrightarrow {\min _K}f(x) = f({x_0})\] Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
|
B. CÁC DẠNG CƠ BẢN
Khảo sát trực tiếp | Khảo sát gián tiếp |
+ Áp dụng các phương pháp tìm GTLN, GTNN trực tiếp đối với hàm \(y = f\left( x \right)\) | + Đặt \(u(x) = t \Rightarrow t \in K\) + Khảo sát hàm \(f\left( x \right) = g\left( t \right),\;t \in K\) |
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) trên đoạn \([0;2]\)
Hướng dẫn: Có \(f'(x) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) chỉ có \(x = 1 \in (0;2)\). Tính các giá trị \(f(0) = 1;\;f(1) = - 1;\;f(2) = 3\)
Vậy GTNN của hàm số là 3 và GTNN là -1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} \) .
Hướng dẫn: Tập xác định \(D = {\rm{[}}1;5]\) . \(y' = \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }}\) . Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 9(5 - x) = 16(x - 1) \Leftrightarrow x = \frac{{61}}{{25}}\) . Tính \(f(1) = 8;\;f(\frac{{61}}{{25}}) = 10;f(5) = 6\) ta tìm được GTLN, GTNN
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f(x) = 3{x^2} + \frac{6}{x}\] trên \((0; + \infty )\).
Hướng dẫn: Có \(y' = 6x - \frac{6}{{{x^2}}}\) , \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\) . Ta có bẳng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 9 tại x = 1
