BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Định nghĩa
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \({x_0} \in TXD\) và \(f'\left( {{x_0}} \right)\) đổi dấu từ dương sang âm qua \({x_0}\) theo chiều từ trái sang phải thì \({x_0}\) gọi là điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\), \(f\left( {{x_0}} \right)\) là giá trị cực đại, điểm \(A\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \({x_0} \in TXD\) và \(f'\left( {{x_0}} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua \({x_0}\) theo chiều từ trái sang phải thì \({x_0}\) gọi là điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\), \(f\left( {{x_0}} \right)\) là giá trị cực tiểu, điểm \(A\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Hàm số không có dấu giá trị tuyệt đối như hàm đa thức, bậc hai trên bậc 1 nếu có cực trị thì \({x_{CT}}\) là nghiệm của \(f'\left( x \right)\). |
Ví dụ 1: Hàm số \(y = f(x)\) có \(f'(x) = x{(x - 1)^2}{(x + 1)^3}\) có bao nhiêu cực trị
Hướng dẫn: \(f'(x)\) có 3 nghiệm \(x = 0;\;x = 1;\;x = - 1\) nhưng chỉ đổi dấu qua 2 nghiệm \(x = 0;\;x = - 1\) mà không đổi dấu qua \(x = 1\). Do đó hàm số có hai cực trị
Ví dụ 2: Hàm số \(y = \cfrac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} - x\) có bao nhiêu cực trị
Hướng dẫn: Có \(y' = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - 1 = \frac{{1 - \sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x}}}\) . Bảng xét dấu \(f'(x)\)
Vậy hàm số có 2 cực trị mặc dù giải phương trình \(f'(x) = 0\) chỉ có 1 nghiệm.
2. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
Lập bảng biến thiên (Áp dụng cho mọi loại hàm số) | Dùng \( f''(x)\) (Áp dụng cho hàm có \(f'\left( x \right)\) xác định trên TXĐ của \(f\left( x \right)\)) |
| + Giải \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = {x_1},{x_2},...\) + Tính \(f''\left( {{x_1}} \right),f''\left( {{x_1}} \right), \ldots \) + Kết luận: - Nếu: \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\): Cực đại - Nếu: \(f''\left( {{x_2}} \right) > 0\): Cực tiểu |
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
I. Xác định hàm số cho trước cực trị
(Đối với hàm số bậc 3 hoặc bậc 2 trên bậc nhất)
Giả thiết | Trả lời |
+ Cực trị tại \({x_0}\) | + \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) |
+ Cực đại tại \({x_0}\) | + \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\\{f''\left( {{x_0}} \right) < 0}\end{array}} \right.\) |
+ Cực tiểu tại \({x_0}\) | + \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\\{f''\left( {{x_0}} \right) > 0}\end{array}} \right.\) |
+ Đồ thị đi qua \(A\left( {a;b} \right)\) | + \(f\left( a \right) = b\) |
Ví dụ 1: Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - 1)x + 5\) đạt cực đại tại \(x = 1\)
Hướng dẫn: Vì hàm số là hàm bậc 3 nên điều kiện đề bài tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}f'(1) = 0\\f''(1) < 0\end{array} \right.\) . Điều kiện này tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}{3.1^2} - 2m.1 + m - 1 = 0\\6.1 - 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \) . Vậy không có giá trị nào của \(m\) thoả mãn đề bài.
II. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện K
1) Các cấp độ câu hỏi
Hỏi | Trả lời |
Cấp độ 1: Điều kiện có cực trị, 2, 3 cực trị | \(f'\left( x \right)\) có nghiệm, 2, 3 nghiệm phân biệt (khi đó \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua nghiệm đó) |
Cấp độ 2: Hoành độ cực trị thỏa mãn ĐK + \({x_1},{x_2}\) trái dấu, cùng dấu + \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 4\), \({x_1} + 2{x_2} = 1\),… + \({x_1}\) là cực tiểu, cực đại + … | \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của \(f'\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow A{x^2} + Bx + C = 0\) + Sử dụng phương trình bậc hai. + Sử dụng Viet + Điều kiện cực đại, cực tiểu,… |
Cấp độ 3: Điểm cực trị A, B, C thỏa ĐK + Độ dài đoạn AB + Diện tích tam giác OAB, ABC + Tam giác OAB, ABC vuông, cân, đều + v.v… | Tọa độ \(A\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right),\;B\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right), \ldots \) + \(\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^2}} \): Viet + \(OA = OB;\;\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\) + \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}\end{array}} \right| = \frac{1}{2}\left| {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right|\),… |
2) Các hàm số cụ thể
\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) | \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) |
\(y' = A{x^2} + Bx + C\) | \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\) |
+) \({\rm{\Delta }} = {B^2} - 4AC \le 0\): không có cực trị +) \({\rm{\Delta }} > 0\): Có 2 cực trị \({x_1},\;{x_2}\) là nghiệm \(y'\). | +) \( - \frac{b}{{2a}} \le 0\): có 1 cực trị \(x = 0\) +) \( - \frac{b}{{2a}} > 0\): có 3 cực trị \(x = 0,x = \pm \sqrt { - \frac{b}{{2a}}} \) |
+) Chia \(f\left( x \right)\) cho \(f'\left( x \right)\) được dư \(kx + e\) +) 2 điểm cực trị: \(A\left( {{x_1};k{x_1} + e} \right)\), \(B\left( {{x_2};k{x_2} + e} \right)\) +) Đường thẳng qua 2 cực trị \(y = kx + e\) | +) 3 điểm cực trị: \(A\left( {0;c} \right),\;B\left( {\sqrt { - \frac{b}{{2a}}} ; - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + c} \right)\),\(\;B\left( {\sqrt { - \frac{b}{{2a}}} ; - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + c} \right)\) + Tam giác ABC luôn cân tại A |
\(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) | |
\(y' = \frac{{A{x^2} + Bx + C}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\) | |
+) \({\rm{\Delta }} = {B^2} - 4AC \le 0\): không có cực trị | +) \({\rm{\Delta }} > 0\): Có 2 cực trị \({x_1},\;{x_2}\) là nghiệm \(y'\). |
+) Lấy đạo hàm tử và đạo hàm mẫu, được đường thẳng qua hai cực trị: \(y = \frac{{2ax + b}}{d}\) | +) Tọa độ hai điểm cực trị \(A\left( {{x_1};\frac{{2a{x_1} + b}}{d}} \right);A\left( {{x_2};\frac{{2a{x_2} + b}}{d}} \right)\) |
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + (m + 1)x - m + 4\) có cực trị
Hướng dẫn: \(f'(x) = 3{x^2} - 2mx + (m + 1)\) . Hàm số có cực trị khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 3 > 0\)
\( \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;\frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}) \cup (\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty )\)
Ví dụ 2: Tìm điều kiện \(m\) để hàm số \(y = {x^4} - (m + 1){x^2} + m - 1\) có 3 cực trị
Hướng dẫn: Có \(y' = 4{x^3} - 2(m + 10)x = 2x(2{x^2} - (m + 1))\) . Hàm số có 3 cực trị khi \(y'\) có 3 nghiệm phân biệt.
Khi và chỉ khi \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
Ví dụ 3: Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (m + 2)x + 5\) có hai cực trị \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 26\)
Hướng dẫn: \(y' = {x^2} - 2mx + m + 2\). Hàm số có hai cực trị khi \({m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\) . Khi đó
\(x_1^2 + x_2^2 = 26 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 26 \Leftrightarrow 4{m^2} - 2(m + 2) = 26\)\( \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
Ví dụ 4: Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m + {m^4}\) có 3 cực trị mà 3 điểm cực trị tạo thành tam giác
a. Đều
b. Vuông cân
c. Có diện tích bằng 32
Hướng dẫn: Điều kiện có 3 cực trị của hàm trùng phương là \(ab < 0 \Leftrightarrow m > 0\)
Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A(0;m + {m^4})\); \(B(\sqrt m ; - {m^2} + m + {m^4})\); \(B( - \sqrt m ; - {m^2} + m + {m^4})\)
Tính được \(AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} \) ; \(BC = 2\sqrt m \) ; \(\overrightarrow {AB} = (\sqrt m ; - {m^2})\) ; \[\overrightarrow {AC} = ( - \sqrt m ; - {m^2})\]
a. Tam giác ABC đều \( \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\)
b. Tam giác ABC vuông cân \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - m + {m^4} = 0 \Leftrightarrow m = 1\) (lưu ý đã kết hợp với điều kiện)
c. Diện tích tam giác ABC bằng 32 \( \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m = 32 \Leftrightarrow \sqrt {{m^5}} = 32 \Leftrightarrow m = 4\)
