TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

\[\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)\;\;\left( {{C_1}} \right)}\\{y = g\left( x \right)\;\left( {{C_2}} \right)}\end{array}} \right.\]

B. HAI DẠNG TOÁN CƠ BẢN

I. DẠNG I: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM (*)

1. Các cấp độ câu hỏi.

Cấp độ 1: Hỏi về số giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\): (là số nghiệm của (*))

Cấp độ 2: Hỏi về hoành độ giao điểm: (là các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}, \ldots \) của (*))

Cấp độ 3: Hỏi về giao điểm: A, B, C, …(dùng cả hoành độ lẫn tung độ của A, B, C)

Quan trọng: \({x_1},{x_2},{x_3}, \ldots \) là nghiệm của (*), \({y_1} = a{x_1} + b,{y_2} = a{x_2} + b, \ldots \) thay vào đường thẳng

2. Các bài toán thường gặp

a) Đồ thị hàm bậc 3 và đường thẳng

b) Đồ thị hàm trùng phương và đường thẳng \(y = c\), c là hằng số

c) Đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất và đường thẳng

Ví dụ 1:

Cho \(\left\{ \begin{array}{l}y = {x^3} - 2{x^2} + (1 - m)x + m\;\;\;({C_m})\\y = 0\;\;(Ox)\end{array} \right.\)

Tìm \(m\) để \({C_m}\) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4\)

Hướng dẫn: (cấp độ 2)

Phương trình hoành độ giao điểm của \({C_m}\) và Ox:

\({x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m = 0\;\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - x - m) = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - x - m = 0\;\;(**)\end{array} \right.\) . \({C_m}\) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt chỉ khi (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 1 > 0\\ - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < m \ne 0\;\;(1)\)

Khi đó (*) có 3 nghiệm là \(x = {x_1} = 1,\;x = {x_2},x = {x_3}\) với \({x_2},{x_3}\) là 2 nghiệm của (**).

\(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4\)\( \Leftrightarrow x_2^2 + x_3^2 < 3 \Leftrightarrow {({x_2} + {x_3})^2} - 2{x_2}.{x_3} < 3\;\;(2)\)

Theo Viet       \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} + {x_3} = 1}\\{{x_2}{x_3} =  - m}\end{array}} \right.\)

Vậy \((2) \Leftrightarrow 1 + 2m < 3 \Leftrightarrow m < 1\)

Kết hợp với (1):  \( - \frac{1}{4} < m \ne 0 < 1\)

Ví dụ 2: Cho đồ thị

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\;\;\;\left( C \right)\) và đường thẳng d qua I(1;2) có hệ số góc k (k > -3)

Chứng minh d luôn cắt C tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.

Hướng dẫn: (Cấp độ 3)

d: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của C và d:

\({x^3} - 3{x^2} + 4 = k\left( {x - 1} \right) + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - 2 - k) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\g(x) = {x^2} - 2x - 2 - k = 0\;\;(**)\end{array} \right.\)

Ta thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{\Delta }}_g’ = k + 3 > 0,\;\;\;\forall k >  - 3\;\;\;\;\;\;}\\{g\left( 1 \right) =  - 3 - k \ne 0,\;\;\;\;\forall k >  - 3}\end{array}} \right.\). Vậy d luôn cắt C tại 3 điểm phân biệt với mọi k > - 3.

Khi đó 3 nghiệm của (*) là \(x = 1,x = {x_1},\;x = {x_2}\) với \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của (**). Đồng thời 3 giao điểm của C và d là: I(1;2), A(\({x_1},k\left( {{x_1} - 1} \right) + 2\)), B(\({x_2},k\left( {{x_2} - 1} \right) + 2\)).

Ta thấy \(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = {x_I}\)  (Viet) . Mà I, A, B thẳng hàng. Vậy I là trung điểm của AB.

Ví dụ 3: Cho

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^4} - \left( {3m + 2} \right){x^2} + 3m\;\;\;\left( {{C_m}} \right)}\\{y =  - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( d \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\)

tìm m để d cắt \({C_m}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

Giải (cấp độ 2)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^4} - \left( {3m + 2} \right){x^2} + 3m + 1 = 0\;\;\left( * \right)\)

Đặt \(t = {x^2}\)

\(g\left( t \right) = {t^2} - \left( {3m + 2} \right)t + 3m + 1 = 0\;\left( {**} \right)\)

Có \({{\rm{\Delta }}_g} = 9{m^2}\) là một bình phương (giải tường minh được nghiệm):

(**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3m + 1\end{array} \right.\) .

Vậy (**) có 2 nghiệm dương phân biệt  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 3m + 1\\3m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} < m \ne 0\;\;(1)\)

Khi đó, 4 nghiệm của (*) là: \( - 1,\; - \sqrt {3m + 1} ,1,\sqrt {3m + 1} \). Cả 4 nghiệm nhỏ hơn 2 \( \Leftrightarrow m < 1\)

Kết hợp với (1): \( - \frac{1}{3} < m \ne 0 < 1\).

Ví dụ 4: Cho

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\;\;\;\;\left( C \right)\;\;\;}\\{y = \; - 2x + m\;\;\;\left( d \right)}\end{array}} \right.\)

m? C cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB = \(\sqrt 3 \).

Giải: (cấp độ 3)

Phương trình hoành độ giao điểm              \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  - 2x + m\;\;\;\;\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow g(x) = 2{x^2} + (4 - m)x + 1 - m = 0\) (vì \(x =  - 1\) không là nghiệm của pt)

\({{\rm{\Delta }}_g} = {\left( {4 - m} \right)^2} - 8\left( {1 - m} \right) = {m^2} + 8\)

Do \({{\rm{\Delta }}_g} > 0\;\forall m \in R\) nên d cắt C tại 2 điểm phân biệt với mọi m. Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của (*), không mất tính tổng quát, giả sử \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} + m} \right)\) ; \(B\left( {{x_2}; - 2{x_2} + m} \right)\)

Cách 1: PT tổng quát của đường thẳng d: 2x+y-m = 0. Khoảng cách thừ O đến d: \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

Độ dài AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2{x_1} + 2{x_2}} \right)}^2}} \) \( = \sqrt 5 \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt {{{\rm{\Delta }}_g}} }}{{\left| {{a_g}} \right|}} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt {{m^2} + 8} }}{2}\)

Vậy, diện tích tam giác OAB: \(S = \frac{1}{2}d\left( {O,d} \right).AB = \frac{1}{4}\left| m \right|\sqrt {{m^2} + 8} \)

\(S = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left| m \right|\sqrt {{m^2} + 8}  = \sqrt 3  \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

Cách 2:

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1}; - 2{x_1} + m} \right)\)

\(\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2}; - 2{x_2} + m} \right)\)

Theo công thức

\(S = \frac{1}{2}\left| { - 2{x_1}{x_2} + m{x_1} + 2{x_1}{x_2} - m{x_2}} \right| = \frac{1}{2}\left| m \right|\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)\( = \frac{1}{2}\left| m \right|.\frac{{\sqrt {{{\rm{\Delta }}_g}} }}{{\left| {{a_g}} \right|}} = \frac{1}{2}\left| m \right|.\frac{{\sqrt {{m^2} + 8} }}{2}\)

Ví dụ 5: Cho

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{x - 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{C_m}} \right)}\\{y = 0\;\;\;\;\left( {Ox} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\)

Tìm m để \({C_m}\) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Giải (cấp độ 2)

Phương trình hoành độ giao điểm \(g(x) = m{x^2} + x + m = 0\;\;(x \ne 1)\)

PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(g\left( x \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\Delta _g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m \ne 0 < \frac{1}{2}\;\;(1)\)

Khi đó, 2 nghiệm của \(g\left( x \right)\) dương  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{m} > 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\) .

Kết hợp với (1): \( - \frac{1}{2} < m < 0\).

II. DẠNG II: DÙNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH (CÔ LẬP ĐƯỢC THAM SỐ)

\[F\left( {x,m} \right) = 0\]

B1: Cô lập tham số đưa về dạng

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của 2 đồ thị. Đặc biệt, đường thẳng \(y = g\left( m \right)\) là đường song song với Ox cắt Oy ở \(g\left( m \right)\), tức ở độ cao \(g\left( m \right)\).

B2: Vẽ các đồ thị

a) Vẽ \(\left( {{C_1}} \right)\) từ \(\left( C \right)\):

b) Vẽ \(\left( {{C_2}} \right)\) từ \(\left( C \right)\):

Ví dụ 1:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\). Tìm \(m\) để phương trình \({x^2}\left| {{x^2} - 2} \right| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^2}\)

Phương trình \({x^2}\left| {{x^2} - 2} \right| = m\)\( \Leftrightarrow \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\)\( \Leftrightarrow \)\(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2m\;\;\left( * \right)\)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đường thẳng \(y = 2m\).

Do \(\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) \ge 0\) nên \(\left( {{C_1}} \right) \equiv \left( C \right)\) ở phần \(\left( C \right)\) nằm bên trên Ox

Do \(\left| {f\left( x \right)} \right| =  - f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) < 0\) nên \(\left( {{C_1}} \right)\) đới xứng với \(\left( C \right)\) ở phần \(\left( C \right)\) nằm dưới Ox.

Cách vẽ \(\left( {{C_1}} \right)\)

            + Giữ nguyên phần \(\left( C \right)\) nằm trên Ox

            + Lấy đối xứng phần \(\left( C \right)\) nằm dưới Ox qua Ox đồng thời xóa bỏ phần \(\left( C \right)\) nằm dưới Ox

Đồ thị hàm số \(y = \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right|\)

Từ đồ thị ta thấy, đường thẳng \(y = 2m\) cắt đồ thị \(y = \left| {2{x^2} - 4x} \right|\) tại 6 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 < 2m < 2 \Leftrightarrow 0 < m < 1\).

Ví dụ 2:

Khảo sát và vẽ đồ thị \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)\(\left( C \right)\). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \[2x + 1 - \left| {x - 1} \right| = m\left| {x - 1} \right|\]

Giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\;\left( C \right)\)

Phương trình đã cho tương đương \(\frac{{2x + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = m + 1\;\;\left( * \right)\)

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị d: \(y = m + 1\) và đồ thị hàm số  \(y = \frac{{2x + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}}\;\;\left( {{C_1}} \right)\)

Ta thấy \(y = \frac{{2x + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}f(x)\;{\rm{vs}}\;x > 1\\ - f(x)\;{\rm{vs}}\;x < 1\end{array} \right.\)

Do đó, \(\left( {{C_1}} \right) \equiv \left( C \right)\) ở phần \(\left( C \right)\) nằm bên phải đường thẳng \(x = 1\) (tiệm cận đứng) và \(\left( {{C_1}} \right)\) đối xứng với phần \(\left( C \right)\) ở bên trái đường thẳng \(x = 1\) qua Ox.

Cách vẽ \({C_1}\):

            + Giữ nguyên phần \(\left( C \right)\) nằm bên phải tiệm cận đứng.

            + Lấy đối xứng phần \(\left( C \right)\) bên trái tiệm cận đứng qua Ox, xóa bỏ phần \(\left( C \right)\) vừa lấy đối xứng.

Từ đồ thị ta thấy:

• Với \(m + 1 \le  - 2 \Leftrightarrow m \le  - 3\) : d không cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) nên phương trình vô nghiệm.
• Với \( - 2 < m + 1 \le 2 \Leftrightarrow  - 3 < m \le 1\): d cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại 1 điểm nên phương trình có 1 nghiệm.
• Với \(m + 1 > 2 \Leftrightarrow m > 1\) : d cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.