Tổng hợp các dạng nguyên hàm tích phân
BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM CƠ BẢN
Với \(\alpha \ne - 1\): \(\int {{{(ax + b)}^\alpha }dx = \frac{1}{a}.\frac{{{{(ax + b)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C\) | Với \(\alpha = - 1\) : \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{{\ln |ax + b|}}{a} + C} \) |
\(\int {{a^{\alpha x + \beta }}dx = } \frac{{{a^{\alpha x + \beta }}}}{{a.\ln a}} + C\) | \(\int {{e^{\alpha x + \beta }}dx = } \frac{{{e^{\alpha x + \beta }}}}{a} + C\) |
\(\int {\sin (ax + b)dx = } - \frac{{\cos (ax + b)}}{a} + C\) | \(\int {\cos (ax + b)dx = } \frac{{\sin (ax + b)}}{a} + C\) |
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}(ax + b)}}dx = } \frac{{\tan (ax + b)}}{a} + C\) | \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}dx = } - \frac{{\cot (ax + b)}}{a} + C\) |
TÓM TẮT CÁC DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1. Tích phân phân thức
\[\mathop \int \limits_a^b \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx\] | + Bậc \(f\left( x \right) \ge \) bậc \(g\left( x \right)\): Chia \(f\) cho \(g\) \[\frac{f(x)}{g(x)}=\text{thương}+\frac{\text{dư}}{g(x)}\] |
+ Bậc \(f\left( x \right) < \) bậc \(g\left( x \right)\):
\[g(x)=\text{(nhân tử 1)(nhân tử 2)…}\] \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{\text{nhân tử 1}}+\frac{b}{\text{nhân tử 2}}+…\] | |
+ Với mẫu là bậc 2 vô nghiệm: \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{cx + d}}{{a{x^2} + bx + c}}dx = \mathop \int \limits_a^b \frac{{cX + d}}{{{X^2} + {a^2}}}dX\] (đặt \(X = a\tan t\)) | |
\[\;\;\mathop \int \limits_a^b \frac{{{x^2} \pm 1}}{{a{x^4} + b{x^2} + a}}dx\] | + Chia cảtử và mẫu cho \({x^2}\), sau đó biến đổi mẫu \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x \mp \frac{1}{x}} \right)^2} \pm 2\) \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{1 \pm \frac{1}{{{x^2}}}}}{{a{{\left( {x \mp \frac{1}{x}} \right)}^2} \pm 2a + b}}dx\] Đặt \(t = x \pm \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 \mp \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\) |
2. Tích phân chứa căn (khử căn)
\[\mathop \int \limits_a^b f\left( {x,\sqrt {u\left( x \right)} } \right)dx\] | + Nếu \(u\left( x \right) = ax + b\): Đặt \(\sqrt {u\left( x \right)} = t\) | |||||
+ Nếu có sẵn (hoặc làm xuất hiện) \(u'\left( x \right)dx\)
| ||||||
+ Nếu mẫu thức chứa căn với tổng, hiệu: Nhân liên hợp \[\frac{1}{{\sqrt {u\left( x \right)} \pm v\left( x \right)}} = \frac{{\sqrt {u\left( x \right)} \mp v\left( x \right)}}{{u\left( x \right) - {v^2}\left( x \right)}}\] | ||||||
+ Nếu không đặt được \(\sqrt {u\left( x \right)} \) làm ẩn phụ \( \Rightarrow \) lượng giác hóa
|
3. Tích phân chứa \({e^x},\;{e^{u\left( x \right)}}\)
Dạng chứa toàn \({e^x}\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {{e^x}} \right)dx\]
| Đặt \({e^x} = t \Rightarrow x = \ln t \Rightarrow dx = \frac{1}{t}dt\) |
Chứa hàm hợp trên mũ \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)u'\left( x \right)dx\] với \(u\left( x \right)\) là một hàm, sẽ có \(u'\left( x \right)dx\) ở phần còn lại. | Đặt \(u\left( x \right) = t \to \;dt = u'\left( x \right)dx\) |
4. Tích phân chứa
Toàn \(\ln x\), còn lại là \(\frac{1}{x}dx\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx\;\] | Đặt \(\ln x = t \to dt = \frac{1}{x}dx\) |
Không đặt được \(\ln u\left( x \right)\) làm ẩn phụ \[\mathop \int \limits_a^b p\left( x \right)\ln u\left( x \right)dx\] | Từng phần \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln u\left( x \right) \to du = \frac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}dx}\\{dv = p\left( x \right)dx \to v = \int p\left( x \right)dx\;}\end{array}} \right.\] |
5. Tích phân chứa hàm số lượng giác
Toàn \(\sin x\) thừa lại \(\cos xdx\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\sin x} \right)\cos xdx\] | Đặt \(t = \sin x \to dt = \cos xdx\) |
Toàn \(\cos x\) thừa lại \(\sin xdx\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\cos x} \right)\sin xdx\] | Đặt \(t = \cos x \to dt = - \sin xdx\) |
Toàn \(\tan x\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\tan x} \right)dx\] | Đặt \(t = \tan x \to dt = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\) \( \to dx = \frac{1}{{1 + {t^2}}}dt\) |
Toàn \(\tan x\) thừa \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\tan x} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\] | Đặt \(t = \tan x \to dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\) |
Toàn \(\cot x\) thừa \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\) \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\cot x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\] | Đặt \(t = \cot x \to dt = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx\) |
Toàn tổng \(\sin x + \cos x\), thừa hiệu \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)dx\] | Đặt \(t = \sin x + \cos x = t \to dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dt\) |
Toàn hiệu \(\sin x - \cos x\), thừa tổng \[\mathop \int \limits_a^b f\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)dx\] | Đặt \(t = \sin x - \cos x = t \to dt = \left( {\cos x + \sin x} \right)dt\) |
Bậc 2 trên bậc 2 đối với sin, cos \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x}}{{a'{{\sin }^2}x + b'\sin x\cos x + c'{{\cos }^2}x}}dx\] | Chia tử và mẫu cho \({\cos ^2}x\) để đưa về \(\tan x\) |
Bậc 0 trên bậc 2 \[\mathop \int \limits_a^b \frac{a}{{a'{{\sin }^3}x + b'\sin x\cos x + c'{{\cos }^2}x}}dx\] | Thay \(a = a\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) đưa về bậc 2 trên bậc 2 |
Bậc 1 trên bậc 3 tách được \({\cos ^2}x\) hoặc \({\sin ^2}x\) ở mẫu: \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{a\sin x + b\cos x}}{{\left( {a'\sin x + b'\cos x} \right){{\cos }^2}x}}dx\] | Tách riêng \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\). Còn lại chia cả tử và mẫu cho \(\cos x\) để đưa về \(\tan x\). |
Bậc 1 trên bậc 2 dạng \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{a\sin x + b\cos x}}{{a'{{\sin }^2}x + b'{{\cos }^2}x}}dx\] | Tách thành 2 tích phân rồi đưa về dạng toàn cosx thừa sinxdx và toàn sinx thừa cosxdx. |
Bậc 1 trên bậc 1 \[\mathop \int \limits_a^b \frac{{a\sin x + b\cos x}}{{a'\sin x + b'\cos x}}dx\] | Tách \[\text{Tử}=\alpha\text{Mẫu}+\beta\text{(Mẫu)’}\] |
Lũy thừa của \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) \[\mathop \int \limits_a^b {\sin ^n}xdx;\;\mathop \int \limits_a^b {\cos ^n}xdx\] | + \(n\) chẵn: Hạ bậc + \(n\) lẻ: \({\sin ^n}x = {\sin ^{2k}}x.\sin xdx = {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^k}.\sin xdx\) |
Lũy thừa dưới mẫu của \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) \[\mathop \int \limits_a^b \frac{1}{{{{\sin }^n}x}}dx;\;\mathop \int \limits_a^b \frac{1}{{{{\cos }^n}x}}dx\] | + \(n\) chẵn: \[\frac{1}{{{{\sin }^n}x}}dx = \frac{1}{{{{\sin }^{2k}}x}}.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)^k}.\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\] \[\frac{1}{{{{\cos }^n}x}}dx = \frac{1}{{{{\cos }^{2k}}x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^k}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\] + \(n\) lẻ: nhân cả tử và mẫu với sinx hoặc cosx |
Lũy thừa của \(\tan x\) \[\mathop \int \limits_a^b {\tan ^n}xdx\] | + \(n \ge 2\): Giảm dần bậc theo tích phân \[{\tan ^n}x = {\tan ^{n - 2}}x.{\tan ^2}x = {\tan ^{n - 2}}x\left( {1 + {{\tan }^2}x - 1} \right) = {\tan ^{n - 2}}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - {\tan ^{n - 2}}x\] + \(n = 1\): \[\int \tan xdx = - \ln \left| {\cos x} \right|\] |
6. Tích phân từng phần
\[\mathop \int \limits_a^b {e^x}.p\left( x \right)dx\] | \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = p\left( x \right) \to du = p'\left( x \right)dx}\\{dv = {e^x}dx \to v = {e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] |
\[\mathop \int \limits_a^b {\rm{p}}\left( {\rm{x}} \right).\sin kxdx\] | \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = p\left( x \right) \to du = p'\left( x \right)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{dv = \sin kxdx \to v = - \frac{{\cos kx}}{k}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] |
\[\mathop \int \limits_a^b p\left( x \right)\ln u\left( x \right)dx\] | \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln u\left( x \right) \to du = \frac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{dv = p\left( x \right)dx \to v = \int p\left( x \right)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] |
\[I = \mathop \int \limits_a^b {e^x}\sin xdx\] | Tưng phần 2 lần, được phương trình ẩn \(I\): \[I = \sin x.\;{e^x}| - \int {e^x}\cos xdx\] \[ = \sin x.\;{e^x}| - \left( {\cos x.{e^x}{\rm{|}} + \int {e^x}\sin xdx} \right)\] \[ = \left( {\sin x - \cos x} \right){e^x}| - I\] \(\to 2I = \left( {\sin x - \cos x} \right){e^x}\) \( \to I = \frac{1}{2}\left( {\sin x - \cos x} \right){e^x}\) |
7. Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
\[\mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \left| {\mathop \int \limits_a^{{x_1}} f\left( x \right)dx} \right| + \left| {\mathop \int \limits_{{x_1}}^{{x_2}} f\left( x \right)dx} \right| + \ldots + \left| {\mathop \int \limits_{{x_n}}^b f\left( x \right)dx} \right|\] Với \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n} \in \left( {a;b} \right)\) là các nghiệm thuộc \(\left( {a;b} \right)\) của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) |
8. Công thức diện tích, thể tích qua tích phân
Hình phẳng giới hạn bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\;\;\)hoặc \(\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\\{y = a}\\{y = b}\end{array}} \right.\) Chú ý: Nếu khuyết cận, giải \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) | Có diện tích \[S = \mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx\] \[S = \mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( y \right) - g\left( y \right)} \right|dy\] |
Hình phẳng giớ hạn bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y = 0\;}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0\;}\\{y = a}\\{y = b}\end{array}} \right.\) Xoay quanh Ox hoặc Oy | Có thể tích \[V = \pi \mathop \int \limits_a^b {f^2}\left( x \right)dx\] \[V = \pi \mathop \int \limits_a^b {f^2}\left( y \right)dy\] |
9. Tích phân đặc biệt
\(f\left( x \right)\) là hàm lẻ, nghĩa là \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) | \[\mathop \int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\] |
Với hàm \(f\left( x \right)\) bất kỳ | \[I = \mathop \int \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \int \limits_a^b f\left( {a + b - x} \right)dx\] |
\(f\left( x \right)\) là hàm chẵn, nghĩa là \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) | \[\mathop \int \limits_{ - a}^a \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx\] |
\[\int_a^b \frac{\text{Tử}}{\text{Mẫu}}dx\] Với: + Tử = \(f\left( {{e^x},p\left( x \right),\sin x,\cos x,\ln x} \right)\) + Mẫu = \(g\left( {{e^x},p\left( x \right),\sin x,\cos x,\ln x} \right)\) | Phân tích \[\text{Tử}=\alpha (x)\text{Mẫu}+\beta\text{(Mẫu)’}\] \[\int_a^b \frac{\text{Tử}}{\text{Mẫu}}dx=\int_a^b \left(\alpha (x)+\beta\frac{\text{(Mẫu)}’}{\text{Mẫu}}\right)\] \[=\int_a^b \alpha (x) dx+\beta\ln|\text{Mẫu}|\] |
